武漢肺炎發燒體溫認定的影響–以檢測與估計方法分析 An analysis for the fever of COVID-19 via Neyman-Pearson detection


前一陣子新聞上有在討論 是不是應該把認定發燒 的體溫標準 從 38 度降到 37.4 度 目的是因為武漢肺炎的關係 有一部分的人 是不會發燒的,已現在的標準來看 所以把標準降低之後 希望能夠對武漢肺炎 的檢測能後更精確一些 我們今天就用這個當例子 用檢測與估計的理論 來分析標準降低以後 體溫標準的限制更嚴格之後 對檢測的準確度的影響是什麼 進行檢測之前 我們要先知道健康人的 體溫分布情況是怎樣 那這邊我們參考一篇 2017 年的英國研究 裡面說 正常的一般人 他的平均體溫是在 36.6 36.6 攝氏度 那有百分之 95 的人 他的分布是在 35.7 到 37.3 度之間 如果把這個範圍再拉大 拉大到 35.3 度到 37.7 度 那其中包含 百分之 99 ,也就是幾乎所有的人都在這裡面 這樣的分布,我們可以用一個 常太分布來逼近它 這個常態分布的平均值 mean 寫成 mu 它是設訂在 36.6 度 它的標準差 sigma 是 0.4 攝氏度 所以我們的是子寫出來會長得像底下這樣 這是它的分布函式 把圖畫出來之後 就是這條藍色的曲線 所以它中間值是在 36.6 度 35.3 到 37.7 之間幾乎包含了所有的值 這是 2017 年的英國研究 有了正常人的體溫之後 我們再來看看 發燒的人,就是被感染的人的體溫 我們參考一篇新聞 裡面講,有百分之 20 的患者 他的體溫是落在 37.3 到 38 度 之間 我們就用 標準差一樣的常態分布 來逼近這樣的結果 可以用一個平均值是 38.35度 38.35 攝氏度 的常態分布 如果有一樣的標準差的話 那它的分布就會符合 新聞裡所說的 百分之 20 的人是落在 37.3 到 38 度之間 所以圖畫出來 就是這條紅色的曲線 可以看到 平均值是 38.35 度 標準差是 0.4 度 這是發燒的情況,紅色的曲線 有了這兩個分布之後 就可以開始設計 偵測的方法 第一個 hypothesis,第一個假設 H0,hypothesis 0 是正常的人,也就是相對這條藍色的曲線 另外一個假設,是被感染的人 發燒的人,hypothesis one H1,被感染的人 如果有一個人 他被檢測的體溫,檢測結果是 T 這個溫度 可以根據這兩個分布 和 T 溫度的比較 知道 正常的機率是多大 還有 有被感染,正在發燒的機率是多大 那把這兩個機率比較的話 就可以得到一個相似度的比值 likelihood ratio 可以根據相似度的大小 大於 1 的時候 就比較可能是正常體溫 小於 1 的時候,被感染的機率就高 不過我們今天主要的目的是要 找一個合裡的判斷標準 一個門檻值,來做大量的檢測 我們假設 今天找出的門檻值用 gamma 表示 比這個門檻值高的 就認定為是因為武漢肺炎發燒 這就會有誤報的情況 我們把它叫做 False Alarm 它的大小用 P_FA 表示 這個意思是 其實我是沒有發燒的 應該要落在 hypothesis 0 的部分 可是可能因為我剛運動完 體溫比較高 或是剛怕完溫泉 體溫比較高 一量的結果 體溫超過 門檻 gamma 值 就被判斷感染武漢肺炎 被抓去隔離 所以這是一個誤報的情況 叫作 false alarm 相對誤報 就是正常偵測的部分 叫作 detection 就是確實感染肺炎 也被找到 這個機率就用 PD 來表示它 我們看一下 基於我們找出的這兩個分布 根據 2017 年英國研究的正常人體溫分布 還有新聞上的 20% 的人是落在 37.3 到 38 度之間 這樣的一個結果 看一下我們原本認發燒的 38 度 得到的檢測結果是怎樣 我們發覺用這樣的標準來判斷的話 誤報的機率 false alarm 的機率 P_FA 的大小是 千分之 2.4,就是被誤判的機率很低 那我們可以檢測到 發燒的人的機率是 百分之 81 確實不是非常高 所以才會有人建議 可以把體溫的標準調低 建議調低的值 新聞上是建議 把溫度調低到 發燒的認定是 37.4 攝氏度 那以這個值下去作判斷的話 用我們剛剛找出來的兩個假設的分布 誤報的機率會上升到 百分之 2.37 就是 0.0237 可是 確實偵測到,detection 的機率 PD 可以上升到 百分之 99.15,有明顯的進步 不過這是根據假設的分布 實際的情況不一定是這樣

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